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Un grafo computacional representa una función como una red de operaciones elementales. La diferenciación automática recorre ese grafo para calcular derivadas exactas: el modo inverso, base de la retropropagación, obtiene el gradiente de todos los pesos en una sola pasada hacia atrás. Es el mecanismo que hace posible entrenar redes con miles de millones de parámetros.
La retropropagación aplica la regla de la cadena para repartir el error de una red capa por capa. Primero se calcula el error de la última capa, luego se propaga hacia atrás y con él se obtienen los gradientes de todos los pesos y sesgos en una sola pasada, resumidos en cuatro ecuaciones.
La retropropagación reparte la culpa del error entre todos los pesos de una red neuronal. Propaga hacia atrás una señal de error capa por capa, multiplicando por las derivadas locales, y así obtiene el gradiente de cada peso en una sola pasada. Esa idea, publicada en 1986, es la que hace posible entrenar redes profundas.
El gradiente explosivo ocurre cuando la norma del gradiente crece sin control al retropropagar el error, sobre todo en redes profundas y recurrentes con pesos grandes. El entrenamiento se desestabiliza y la pérdida se vuelve NaN. El recorte de gradiente, junto con una buena inicialización y normalización, es la solución estándar.
La regla de la cadena calcula la derivada de una función compuesta multiplicando las derivadas de sus eslabones: si y depende de u y u depende de x, entonces dy/dx es dy/du por du/dx. Esa multiplicación de derivadas capa por capa es exactamente lo que hace la retropropagación para entrenar una red neuronal.
En una red neuronal, la entrada se representa como un vector columna x en R^n que la capa oculta transforma mediante una matriz de pesos W, un vector de sesgos b y una función de activación no lineal como ReLU, sigmoide o tanh. El entrenamiento ajusta W y b minimizando la función de pérdida con descenso por gradiente y retropropagación.
